カテゴリ:数学( 12 )

「そっくりハウス」=宇宙際Teichmuller理論?



ABC予想を証明したと報道された数学者の望月新一氏は、自身のHPでその理論( 宇宙際Teichmuller理論、Inter-universal Teichmuller Theory)を説明する際に、谷山浩子「そっくりハウス」のアニメ(制作:山田塔子)を使っていた。
a0024841_5214632.jpg


(整数問題やABC予想自体はスパイラル状の図解で説明するのが一般的らしいが↓)


When arranging the natural numbers in a spiral and emphasizing the prime numbers, an intriguing and not fully explained pattern is observed, called the Ulam spiral.


NHKみんなのうたで放送されたそのアニメは現在youtube及びニコ生から削除されてしまっている(エイベックスが販売したDVDが中古で入手可能だ)。

残念ながらその動画は紹介できないが、、、自分はこの映画を思い出した(入れ子状ではないが)。

OFFRET (The Sacrifice) [1986]
http://www.youtube.com/watch?v=k4izcNMy4rY

参考(論文):
(窓)http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
(窓)http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf
(窓)http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf
(窓)http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
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望月新一の過去と現在の研究
(窓)http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html

「IUTeich理論って何?」...「そっくりアニメ」による解説
(窓)http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/sokkuri-hausu-link-japanese.pdf

宇宙際Teichmuller理論の出発点は、

入れ子になっている宇宙の列

というイメージにある。このようなイメージは、古代に遡るものと思われ、本稿で取り上げる「そっくりハウス」
のアニメをはじめ、世界各地の様々な物語・神話に登場するものである。宇宙際Teichmuller理論(IUTeich)
の場合、それぞれの宇宙は、

通常の環論・スキーム論が有効な古典的数論幾何的舞台一式

に対応する。アニメの中では、この宇宙たちは「家」という形で表される。それぞれの古典的数論幾何的舞台
の中にテータ関数があるが、このテータ関数は、 「次の宇宙」との間の「フロベニオイド論的」 (=非スキーム
論的!Frobenioids I, II及び´ Etale Thetaを参照) 「橋渡し役」を果たすのである。アニメでは、このリンク役の  

テータ関数に対応するものは、 「小さな家」の中を覗き込む少女の目線

である。実際、少女の大きな目はテータ Θ のような形をしているように見えなくもない(笑) ! IUTeichでは、
ガロア群や数論的基本群 は、それぞれの宇宙の間を、膨張・圧縮されることなく同型なまま自由に往来できる
「不思議な物質」で出来ている。アニメでは、この「不思議な物質」に対応するものは、 「小さい家」 ・ 「大きい家」
の間をつなぐ「不思議な星たち」である。この

「クルクル回る星たち」の回転

は、IUTeich では、フロベニオイドの理論(Frobenioids I, II)における「エタール型物質」の性質を表しているものと
見ることもでき、またTopics IIIのモノ遠アーベル理論における「足し算と掛け算の回転」に対応しているものと見る
こともできる。IUTeichの最も深くかつ最も激しい部分は、この

Topics III のモノ遠アーベル理論や、エタール・テータ関数の様々な剛性性質

(後者については、´ Etale Thetaを参照)によって構成される、入れ子宇宙の列に対する標準的な分裂である。
この標準的な分裂は、pTeich(=p進Teichm¨ uller理論)における標準的な持ち上げ、あるいはもっと初等的な
理論では、Witt環のTeichm¨ uller代表元に対応している。 (因みに、p進の理論では、IUTeichのそれぞれの
「宇宙」は、個々の部分商 ‘pn/pn+1’ の正標数的代数幾何に対応する。 )

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Twitterでの評判:

Nebutan @Nebutan
証明に使われている「新たな数学的手法」の一部、「宇宙際Teichmuller理論」の望月教授
による解説に「そっくりハウス」アニメが!
(窓)http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/sokkuri-hausu-link-japanese.pdf
しかし意味分からん/数学界最大の難問「ABC予想」解明か
(窓)http://www.nikkansports.com/general/news/f-gn-tp0-20120918-1019282.html
about 11 hours ago

@taniyama_ 『そっくりハウス』リクエストしました。新宿・青山では初めてです。ありがとうございました。もしかしたら望月氏は京都のライブに来ておられたりするのかな?

Twitterfurukitakeshi(ふるき)-4時間前

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Choreograph Blog » Blog Archive » そっくりハウス ow.ly/dPqro 宇宙際Teichmuller理論。なるほどわからない。

Twitterbrzbb01(ろきせ)-7時間前

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そっくりハウス聴いたことないからなあまだ。


NHKみんなのうたサイト:
http://cgi2.nhk.or.jp/minna/search/index.cgi?id=MIN200210_02
http://avexnet.jp/id/anhkm/discography/product/AVBA-14794.html



参考動画:

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by yojisekimoto | 2012-09-20 05:13 | 数学

九九の塔

数学者の秋山仁が北海道で展示している九九の塔?をレゴブロック(基本ブロック XL6177)で試作してみた。
本来はもっと平たいものだし、そうするつもりだったが材料の関係でこうなった。
a0024841_185436.jpg



設計図は以下の九九表ということになる(上の塔の写真では以下の右の90度ズレた図のように右奥に81がきている)。
a0024841_1893389.jpga0024841_2028106.jpg


制作動機の背景には百升計算など、現在の教育では子供たちが数字を量として捉えないことが流行していることへの危惧がある。
数を量として捉えないと追々分数計算などで躓くことになる。

追記:
その後kawadaのnanoブロックで作り直すことにした。
重要なのは9×9で終わらせずに10×10まで、つまり100まで視野に入れることによって、全体量を把握しやすくする必要があるということだ。
そうすると例えば、

6×6=36
6×4=24
36+24=60
6×10=60
6×(6+4)=60

といった別個の計算式の関係が把握しやすくなる。
1から9までの数字を使った足し算で10を作ることが基礎になる。
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by yojisekimoto | 2011-09-14 18:06 | 数学

デカルトの四則演算:メモ

デカルトは『精神指導の規則』後半の第18規則(全21規則)で四則演算の説明をしている(著作集4ほか)。
題名から連想される倫理的な説明ではなく、機械的な説明で、特に最終部分で計算の方法を子供に教えるように説明しているのだ。

例えば、

3足す2は
___ __
 a   b
_____
  ab

と説明される。

3引く2は、
a___
b__


_

と表現される。

3掛ける2は、

 ____
| a
|b

 _____
|_|_|_|
|_|_|_|

と表現される。
割り算はこの逆である。

現在の研究水準でどう評価されるのかわからないが、例えば百升計算よりは優れた説明だし、
水道方式のようにタイルを使うよりも優れているように思える(デカルトの説明だとかけ算の概念が方程式に直結するから)。

デカルトは数論と幾何の両方を重視しており、こうした態度は「我思うゆえに我あり」という命題よりも説得的だ。
スピノザのように「思いつつ、ある」(注)とも言えるが、一目瞭然、百聞は一見に如かず、という言葉であらわされる直観(どちらかといえば数論的というより幾何学的)の優越に理論的根拠があたえられることのモデルのような気がしてすがすがしい。


注)これは、スピノザの『デカルトの哲学原理』のなかの言葉だが、この言葉には、「思惟することに対する思惟の能力は、存在し作用することに対する自然の能力より大ではない」という注釈が付け加わり得るだろう(書簡40)。國分功一郎氏はこの言葉を近著(『スピノザの方法』p211)で精神は自然の力に劣るという意味に解釈しているが、思惟と延長(この場合は自然の能力のような実体ではない)は同時共存し得ると肯定的に解釈してもいいと思う。
四則演算をする際の観念、思惟は、デカルトの図式という延長と、互いに一対一対応をすることから説明でき、これは思惟の無限(というより無限定、無際限)の遡行を直観により能動化する良い例だと思う。

ちなみに百升計算は無際限な遡行と言える(百升計算のような人間の計算は決して真無限ではない。なぜなら人間には寿命があるから無限に数を数えることはできないから)。
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by yojisekimoto | 2011-02-26 00:24 | 数学

カージオイド

カージオイドはハート形で知られている。
素数の性質を探ったリーマン予想にも関係するらしい。

素数は円から脱出する多角形をイメージするとわかりやすいが(素数ゼミのように)、相互に円を描いているということだろう。そのブラウン運動は複素平面上で表現可能だ。

追記:
前掲の動画は充分興味深いものの、ノーマン・マクラレンだったらもっとすごい動画を作っただろう。
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by yojisekimoto | 2011-02-15 19:08 | 数学

てんびんと方程式

NHKテレビ数学基礎は毎回面白い。
NHKだと、ようこそ先輩なども面白いが、教科の内在的な面白さを追究している点で数学基礎が質的に上回る。
先日も講師の秋山仁が方程式の等号を天秤で説明していた。
新シリーズはより内容が高度になっているが、わかりやすさも兼ね備えている。

内容及び動画は以下、
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/suugakukiso/archive/chapter006.html


以下同サイトより




釣り合ったてんびんの上に、りんごとおもりが乗っています(注:左にリンゴ2つとおもり50g、右にりんご1つとおもり300g)。
さて、りんご1つは何gでしょう?ただし、りんごは全て同じ重さとします。

りんごの重さが同じなので、両方の皿からりんごを1つずつ取っても、釣り合います。
りんご1つと50gのおもりが、300gのおもりと釣り合っていることから、りんご1つの重さは250gだとわかります。



最初の状態を、数学のことばで表してみましょう。
りんご1つの重さをxgとすると、2x+50=x+300と表せます。
このような式を方程式といいます。



両方の皿からりんごを1つずつ取っても、てんびんは釣り合いました。
つまり、最初の方程式の両辺からxを引いても、等式は成り立ちます。
一般に、両辺から同じ数や式を引いても、あるいは足しても、等式は成り立ちます。
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by yojisekimoto | 2010-08-18 18:09 | 数学

フラクタル、その3

過去投稿した1と2をあわせたもの。進行度が交差する別パターンもあり得る。

                          /\
                         /  \
                        /    \
                       /      \
                      /        \
                     /          \
                    /            \
                   /              \
                  /                \
                 /                  \
                /                    \
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by yojisekimoto | 2010-05-27 09:54 | 数学

フラクタル:別バージョン

以下、創作。
内側に凹む先日投稿した『フラクタル幾何学』で紹介されたものと逆パターン。

                          /\
                         /  \
                        /    \
                       /      \
                      /        \
                     /          \
                    /            \
                   /              \
                  /                \
                 /                  \
                /                    \
               /                      \
              /                        \
             /                          \
            /                            \
           /                              \
          /                                \
         /                                  \
        /                                    \
       /                                      \
      /                                        \ 
     /                                          \
    /                                            \
   /                                              \
  /                                                \
 /                                                  \
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                          /\
                         /  \
                        /    \
                       /      \
                      /        \
                     /          \
                    /            \
                   /              \
                  /                \
                  \                /
                   \              /   
                    \            /     
                     \          /       
                      \        /         
                       \      /          
                        \    /            
                         \  /               
         _________________\/_________________          
        /                 /\                 \
       /                 /  \                 \
      /                 /    \                 \ 
     /                 /      \                 \
    /                 /        \                 \
   /                 /          \                 \
  /                 /            \                 \
 /                 /              \                 \
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                          /\
                         /  \
                        /    \
                        \    /  
                         \  /    
                     _____\/_____      
                    /            \
                   /              \
                  /                \
                  \                /
                   \              /   
                    \____________/     
                          /\             
                         /  \             
                        /    \            
                        \    /            
                         \  /               
         ______      _____\/_____      ______          
        /      \    /     /\     \    /      \
       /        \  /     /  \     \  /        \
      /          \/_____/    \_____\/          \ 
      \           \                /           / 
       \           \              /           /   
   _____\           \            /           /_____    
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 /     /  \        /              \        /  \     \
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                         _\/_             
                        /    \            
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                          /\               
         __  __      __  _\/_  __      __  __          
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by yojisekimoto | 2010-05-22 12:09 | 数学

『フラクタル幾何学』より

トリアディックなコッホの島もしくは雪片_kーコッホによる原作  
(海岸線の次元D=log4/ log3〜1.2618)

                          /\
                         /  \
                        /    \
                       /      \
                      /        \
                     /          \
                    /            \
                   /              \
                  /                \
                 /                  \
                /                    \
               /                      \
              /                        \
             /                          \
            /                            \
           /                              \
          /                                \
         /                                  \
        /                                    \
       /                                      \
      /                                        \ 
     /                                          \
    /                                            \
   /                                              \
  /                                                \
 /                                                  \
/____________________________________________________\


                          /\
                         /  \
                        /    \
                       /      \
                      /        \
                     /          \
                    /            \
                   /              \
__________________/                \__________________
\                                                    /
 \                                                  /
  \                                                /
   \                                              /
    \                                            /
     \                                          /
      \                                        /  
       \                                      /
        \                                    /
        /                                    \
       /                                      \
      /                                        \ 
     /                                          \
    /                                            \
   /                                              \
  /                                                \
 /                                                  \
/_________________                  _________________\
                  \                /
                   \              /
                    \            /
                     \          /
                      \        /
                       \      /
                        \    /
                         \  /
                          \/

                          /\
                         /  \
                  ______/    \______
                  \                /
                   \              /
                    \            /
        /\          /            \          /\ 
       /  \        /              \        /  \
______/    \______/                \______/    \______
\                                                    /
 \                                                  /
  \                                                /
  /                                                \
 /                                                  \
/_____                                          _____\
      \                                        /  
       \                                      /
        \                                    /
        /                                    \
       /                                      \
______/                                        \______ 
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トリアディックなコッホの島もしくは雪片_kーコッホによる原作  
(海岸線の次元D=log4/ log3〜1.2618)    

トリアディックなコッホの島もしくは雪片_kーチェザロによる別の描き方  
(海岸線の次元D=log4/ log3〜1.2618)           

(マンデルブロ『フラクタル幾何学』日経サイエンス社、42〜43頁)
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by yojisekimoto | 2010-05-19 21:22 | 数学

普遍論争と「ヒュームの原理」

クワインは20世紀の論理学の三つの立場(論理主義/直観主義/形式主義)を普遍論争の3つの立場(実念論/概念論/唯名論)に対応させている(邦訳『論理的観点から』より)。

さて、論理主義の代表フレーゲに「ヒュームの原理」(略称HP)というものがある(命名はジュージ・ブーロス『フレーゲ哲学の最新像』)。数を認識する時、一対一対応が最も確実で、幾何学等の延長は不確実になるというものだ。

「ヒュームの原理」は、フレーゲの『算術の基礎』(§63、著作集2勁草書房122頁)において、デイヴィッド・ヒュームの『人間本性論』第1巻第3部第一節からの引用というかたちで言及されている。「例えば、二つの数を集成する各々の単位がそれぞれ常に相応するとき、我々は二つの数が等しいと宣言する。」(岩波文庫人性論1p123)。

ヒュームはカントと対照させると、実念論の近代初期版と言える。実感を強調したヒュームは数学を分析的なものと考え、あくまでも実体を重視した。カントはそれに対して数学を総合的なものと捉え、様相を擁護した。先のクワインの指摘はヒュームとフレーゲを実念論に位置づけるものということになり、カント(唯名論者とする)との比較においては的確であることがわかる。

ちなみに、フレーゲの立場は、数学大系を準備しうるものだということがわかっており、再評価されている。
ライプニッツ影響もあるが(フレーゲはライプニッツの『不可識別者同一の原理』を支持しており、これは必然的にカント的空間論を採用しないことを意味する)、そこにヒュームの名前がでるのは面白い。

一対一対応は、秋山仁が数学を日常に見出すことができるといったときの四つの事例のなかのひとつである「靴を下駄箱に入れること」に相当するだろう。

そもそもクワインの冒頭の指摘も一対一対応だ。一対一対応を実念論者?スコトゥスのこだわった一義性に変換すれば神学にも応用できる考え方だ。

ただし、ゲーデルが破壊した形式主義に対して、唯名論は破壊されてはいない。また,ゲーデルはカントの哲学を新しい世界観(=例えば相対性理論)に対応していないとは考えていなかった。ここに論理学(純粋)と哲学(非純粋)の対応と同時に浮かび上がる非対応があるような気がする。

再考したい。

参考サイト:
The Frege reader
著者: Gottlob Frege,Michael Beaney
http://books.google.co.jp/books?id=4ktC0UrG4V8C&pg=PA110&dq=hume+frege+63&lr=&as_brr=3&cd=13#v=onepage&q=hume%20frege%2063&f=false
When two numbers are so combined, as that the one has always an unite answering to every unite of the other, we pronounce them equal;

Hume
http://www.gutenberg.org/files/4705/4705-h/4705-h.htm#2H_4_0021

Wiki
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
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by yojisekimoto | 2010-03-01 16:03 | 数学

ゲーデルの不完全性定理:メモ

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 ゲーデルの不完全性定理の証明について簡単に触れたいと思います.
 http://mathematics.web.infoseek.co.jp/column/incomplete.html

 証明における主なステップは,次の通りです.

1. 数学を形式的に表現することに関して,「各自然数ごとに表現可能」という概念を導入する.
2. 「原始帰納的」と呼ばれる関数が各自然数ごとに表現可能であるという,「表現定理」を証明する.
3. 数学の証明の一部を 「ゲ ー デ ル 数」と呼ばれる数に対応させることで証明をある意味で計算できるようにする.

           ___
          |   |
          |超数学|
          |___|
      1    /  \↓ 算術化 3
   超数学的考察↑ /    \(ゲーデル数)
   ______/_    _\ _    ______ 
  |形式的自然数論を|  |超算術的|  |原始帰納的 |2
  |含んだ形式的体系|←→| 体系 |←ー|関数(述語)|
  |________|2 |____|  |______| 
           表現定理    形式的体系の有限    
                   の立場での記述    
           図5.1全体の構図

http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/NIKKI/45.html
< 若干の蛇足。足立恒雄著『たのしむ数学10話』に、ライプニッツが命題に文字をあてはめた(命題変数を導入した)最初の人であったこと、「それどころか、原始的概念に素数を割り当て、合成数に積を割り当て、「論証を数の計算に還元する」という驚くべき構想まで書き残して」いたこと、そしてこの「論証の算術化」という構想の実現は二十世紀のゲーデルをまたなければならなかったことが書かれている。>


4. カントールの 対 角 線 論 法 のアイデアを用いて, 「対角化定理」と呼ばれる,論理式における不動点定理のようなものを証明する.

補足:
            内容
   | 1,  2,  ・ ・ ・,  n,  ・ ・ ・
___|____________________
f1(y) |f1(1) f1(2)  ・ ・ ・ f1(n) ・ ・ ・
f2(y) |f2(1) f2(2)  ・ ・ ・ f2(n) ・ ・ ・   
・  |・   ・   ・     ・
・  |・   ・     ・   ・
・  |・   ・       ・ ・
fn(y) |fn(1) fn(2)  ・ ・ ・ fn(n) ・ ・ ・
・  |・   ・         ・  ・  
・  |・   ・         ・     ・ 
・  |・   ・         ・       ・

< ¬は否定だから最後につけ加えればよいから、ヨxP(x,n,n)について考えてみよう。これは、「ゲーデル数がnである一変数 y を含む命題(すなわちfn(y) )の変数 y に数nを代入した命題の形式証明のゲーデル数となる x が存在する」という内容を持ち、したがって¬∃xP(x,n,n)はこれの否定、すなわち繰り返しを嫌わずに書けば「ゲーデル数がnである一変数 y を含む命題の変数yに数nを代入した命題の形式証明のゲーデル数となる x が存在しない」となる。
 ところが、ゲーデル数nを持つ一変数を持つ一変数yを含む命題とは fn(y)のことであり、fn(y)とはすなわち¬ヨxP(x,y,y)であった。すなわち上の文章を簡単に書けば,「¬∃xP(x,n,n)の形式証明は存在しない」ということで「¬∃xP(x,n,n)は証明できない」ということになる。ところが、この「 」内の命題こそ¬∃xP(x,n,n)に他ならない!
 ついにわれわれは「この命題は証明できない」のきちんとした数学的表現を入手することに成功したのである。
(略)
 ここで用いられた論法が一種の対角線論法であることに十分注意を払ってもらいたい。一変数の命題をすべて一列に並べ、f1(y) ,f2(y) ,・・・とし f1(1) , f1(2) ,・・・f n(n),・・・を考察するというのはまさしく対角線論法そのものである。カントールによって集合の階層構造を引き出すために考案された一線論法は,集合論内のパラドックスと絡まりあいながら、ゲーデルによる決定不能命題の発見という20世紀数最高の結果の一つを生み出すにいたったのである。>

(『はじめての現代数学』瀬山士郎著、講談社現代新書p161-163より。早川文庫より復刊)

5. 決定不可能な論理式,つまり自分自身もその否定も体系内では証明できないような論理式 U を構成する.(第一 不 完 全 性 定 理)
6. 「体系は無矛盾である」という命題を体系内の論理式として表現する. その論理式を C とおく.
7. 「 C が体系内で証明できるならば U も体系内で証明できる」ということを証明する. このとき, U は体系内では証明できない論理式だから, C もまた体系内では証明できない論理式である. (第 二 不 完 全 性 定 理)

           ___
          |   |
          | U |
          |___|
      1    /  \↓ 算術化 3
   超数学的考察↑ /    \(ゲーデル数)
   ______/_    _\ _    ______ 
  |形式的自然数論を|  |    |  |原始帰納的 |2
  |含んだ形式的体系|←→| C  |←ー|関数(述語)|
  |________|2 |____|  |______| 
           表現定理    形式的体系の有限    
                   の立場での記述    
           図5.1全体の構図



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           ___
          |   |
          |超数学|
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           /  \↓ 算術化 3
   超数学的考察↑ /1   \(ゲーデル数)
   ______/_    _\ _    ______ 
  |形式的自然数論を|  |超算術的|  |原始帰納的 |2
  |含んだ形式的体系|←→| 体系 |←ー|関数(述語)|
  |________|4 |____|  |______| 
           表現定理    形式的体系の有限    
                   の立場での記述    
           図5.1全体の構図

 次に不完全性定理の証明の概略を説明しておこう。問題になる公理系は自然数論を実質
的に含む形式的体系でなくてはならない。

そこでまず第1に、自然数論の形式的体系をみることにする。このような形式的体系、す
なわち自然数論でのさまざまな記号や記号の列や証明図を扱うのが超数学であるが、これ
は直観的数論をもとに記号を扱う一種の算術、いわば超算術的体系ということができる。

そこで第2に、前章で定義した原始帰納的関数(述語)や一般帰納的関数(述語)がいず
れもこの超算術的体系の中に展開できることをみる。原始帰納的述語は有限の立場にもと
づいていたものであるが、一般帰納的述語は必ずしもそうではない。

不完全性定理の証明には原始帰納的関数(述語)だけが使われる。

第3に、超数学で扱う対象の算術化、すなわちゲーデル数化によって超算術的体系を考え、
必要な述語の定義をおこなう。

そして第4に、超算術的体系での帰納的述語が形式的体系の論理式として表現できること
をみる。こうして形式的体系と超数学と超算術的体系との問の対応づけによって、証明
の準備が完了し、前述した決定不可能な論理式を構成し、不完全性定理の証明がおこな
われることになる。全体の構図は図5.1のようになる。

『ゲーデルの世界』(海鳴社p114より。図は番号を振り左右を反転した。)



不完全性定理の証明は、対角線論法とゲーデル数のアイデアの意義だけ解ればOK

超初心者には以下がお勧め
不完全性定理 ―数学的体系のあゆみ 野崎 昭弘 著 ちくま学芸文庫
はじめての現代数学 (講談社現代新書) (新書) 瀬山 士郎 (著)


            内容
   | 1,  2,  ・ ・ ・,  n,  ・ ・ ・
___|____________________
f1(y) |f1(1) f1(2)  ・ ・ ・ f1(n) ・ ・ ・
f2(y) |f2(1) f2(2)  ・ ・ ・ f2(n) ・ ・ ・   
・  |・   ・   ・     ・
・  |・   ・     ・   ・
・  |・   ・       ・ ・
fn(y) |fn(1) fn(2)  ・ ・ ・ fn(n) ・ ・ ・
・  |・   ・         ・  ・  
・  |・   ・         ・     ・ 
・  |・   ・         ・       ・

 ¬は否定だから最後につけ加えればよいから、ヨxP(x,n,n)について考えてみよう。これは、
「ゲーデル数がnである一変数 y を含む命題(すなわちfn(y) )の変数 y に数nを代入した命題
の形式証明のゲーデル数となる x が存在する」という内容を持ち、したがって¬∃xP(x,n,n)は
これの否定、すなわち繰り返しを嫌わずに書けば「ゲーデル数がnである一変数 y を含む命題
の変数yに数nを代入した命題の形式証明のゲーデル数となる x が存在しない」となる。
 ところが、ゲーデル数nを持つ一変数を持つ一変数yを含む命題とは fn(y)のことであり、
fn(y)とはすなわち¬ヨxP(x,y,y)であった。すなわち上の文章を簡単に書けば,「¬∃xP(x,n,n)の形式
証明は存在しない」ということで「¬∃xP(x,n,n)は証明できない」ということになる。ところ
が、この「 」内の命題こそ¬∃xP(x,n,n)に他ならない!
 ついにわれわれは「この命題は証明できない」のきちんとした数学的表現を入手すること
に成功したのである。
(略)
 ここで用いられた論法が一種の対角線論法であることに十分注意を払ってもらいたい。一変数
の命題をすべて一列に並べ、f1(y) ,f2(y) ,・・・とし f1(1) , f1(2) ,・・・f n(n),・・・を考察
するというのはまさしく対角線論法そのものである。カントールによって集合の階層構造を引き出
すために考案された一線論法は,集合論内のパラドックスと絡まりあいながら、ゲーデルによる
決定不能命題の発見という20世紀数最高の結果の一つを生み出すにいたったのである。

(『はじめての現代数学』瀬山士郎著、講談社現代新書p161-163より。早川文庫より復刊)

http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/NIKKI/45.html
 若干の蛇足。足立恒雄著『たのしむ数学10話』に、ライプニッツが命題に文字を
あてはめた(命題変数を導入した)最初の人であったこと、「それどころか、原始
的概念に素数を割り当て、合成数に積を割り当て、「論証を数の計算に還元する」
という驚くべき構想まで書き残して」いたこと、そしてこの「論証の算術化」とい
う構想の実現は二十世紀のゲーデルをまたなければならなかったことが書かれてい
る。

http://mathematics.web.infoseek.co.jp/column/incomplete.html
 ゲーデルの不完全性定理の証明について簡単に触れたいと思います.

 証明における主なステップは,次の通りです.

1. 数学を形式的に表現することに関して,「各自然数ごとに表現可能」という概念を導入する.
2. 「原始帰納的」と呼ばれる関数が各自然数ごとに表現可能であるという,「表現定理」を証明する.
3. 数学の証明の一部を 「ゲ ー デ ル 数」と呼ばれる数に対応させることで証明をある意味で計算できるようにする.
4. カントールの 対 角 線 論 法 のアイデアを用いて, 「対角化定理」と呼ばれる,論理式における不動点定理のようなものを証明する.
5. 決定不可能な論理式,つまり自分自身もその否定も体系内では証明できないような論理式 U を構成する.(第一 不 完 全 性 定 理)
6. 「体系は無矛盾である」という命題を体系内の論理式として表現する. その論理式を C とおく.
7. 「 C が体系内で証明できるならば U も体系内で証明できる」ということを証明する. このとき, U は体系内では証明できない論理式だから, C もまた体系内では証明できない論理式である. (第 二 不 完 全 性 定 理)

 上の証明のステップ6において,「形式的体系が無矛盾である」という命題を表現する論理式の選び方は一通りではありません.
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by yojisekimoto | 2010-02-26 14:51 | 数学